химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

sin а = As -cos (а — 90°) = г Д0 то мы снова имеем:

/ де

В силу того, что lim

Д9

g-, получим: (29)

Va.i—№ sin2 9—6 cos в

Умножая числитель и знаменатель подынтегрального выражения на (l/a2 — Ьг sin2 9 -f 6 cos б), будем иметь:

д1= ф-ь* \ (Vai-b2 sin28+6cos9) d6= а% '_ъ% У a* - б3 sin2 6 <

о о

Причем J cos9d9=0. Далее, ввиду того, что график у —

= V~a2 — б2 sin2 9 является симметричным (см. § 4), мы можем написать:

Кроме того, поскольку Е и F представляют точки пересечения

линии ОР с окружностью, a D есть точка соприкосновения с окружностью касательной, проведенной из Р, мы имеем в!*-- \ is

два выражения для ра-диуса-вентора г, а именно, когда точка, например О, находится на окружности между D и Е или, положим, в О' между D и F. Если ОС перпендикулярна г, то ОС = = Ь sin 0, PC = 6 cos 9, ОС =» e'Cl/V - 62sin20.

Следовательно, мы получим для точки Q

Я1 = И"1 VVI-Ч sin2 в

и для точки Q'x

r = PC—Я,

где ?х = — < 1. Разделив числитель и знаменатель коэффициента интеграла на а2, мы окончательно получим:

(28)

Для = т. е. для случая, когда точка Р располпгается в центре круга, мы найдем, — так как ?(0) = -у, —известную формулу:

а

Если fcj устремится к единице, что соответствует положению Р на проводнике, то Е (fc,) также будет стремиться к единице и Нг становится равным бесконечности в соответствии с формулой (26), выражающей закон Ампера.

r = PC + p'C = 6cos6+Ka2 — 6« sin2 9

Так как sin OPD — , то угол 9 изменяется в пределах

между ± arcsin -2-; тогда, подставляя в (29) значение г и произведя суммирование по окружности, мы получим, приняв из удобства

+

в4 = arcsin у I

о

d cos 9—У a* — № sin*в 1 0J 6cos9-f]/a2—fcasina e

d9

cos 8+)/ — 62sin2 9

6 cos 9— Vtfl—б2 sin2 Й

?T+J429

Приведем, в первую очередь, знаменатель к рациональному виду, затем в третьем и четвертом интегралах заменим в на —8, а во втором и третьем интегралах изменим порядок интегрирования. Мы получим:

1

J (B cos 9 + V<& — б2 sin2 9 ) d6 — J (6 cos в — /а2 — b* sin2 9) DU—

— J (6 cos 9 — VA* — 62 sin2 9 ) rf9 + | (bcos 9-)-/a2 —62 sin2 9 ) rf9

о о

rf9

He сразу видно, что этот интеграл эллиптический, так как здесь b •> а. Но если мы положим b sin 9 = a sin Ф, то будем иметь:

6cos9d9=acos®dO, ]Л"а — б2 sin2 в = a cos Ф

Глава XVI БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение:

(1)

„ 4/ Г а соз Ф ? а cos Ф 4Ф 41 |» а2 —а2 sin2®

2~ б2 —а2 ) 6cos8 — 6(62 —a2) \ - у -8

J J l/l-sm2®

о ого2

Наконец, примем А;2 = у (30)

где п — постоянная величина.

Это уравнение называется дифференциальным уравнением Бесселя. Поскольку последнее представляет собой уравнение второго порядка, то оно имеет два линейно независимых решения. Однако решения эти в общем случае через элементарные функции не выражаются. Лишь в случае, когда п равно целому числу с половиной, оказывается возможным выразить их через элементарные функции. Покажем, как это сделать. Подставим в уравнение (1):

41 Г *2-А|йп2Ф 41 Г А1— 1 +1—fc|sin" Ф

»(1-*9 J V~l-/cgsin2 Ф Ml-*!) J Kl-ftfsins®

Тогда это уравнение примет вид:

D

к% sin2 Ф '

А 2

0 Г)

41 Г (Ы -1

(31)

При fc3 -»? 0, т. е. когда точка Р удалена в бесконечность, формула (31) показывает, что Нг, как и следовало ожидать, равна нулю. В том случае, когда fc2 стремится к единице, выражение (31) становится неопределенным, но из (30) легко видеть, что #2 равна бесконечности.

dx* '

Если, например

то уравнение (2) становится уравнением с постоянными коэффициентами

—- + Ц = О

общий интеграл которого будет:

и = Ci sin х 02 cos х

«31

Следовательно, при n = ±. — t общий интеграл уравнения (1) будет: sin х , _ cos х

»=Cl7T+c*TT

где Сг и Са — произвольные постоянные.

При п, не равном целому числу с половиной, решение уравнения Бесселя (1) находим в виде степенного ряда, расположенного по степеням х.

% 2. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ

Будем искать решение уравнения (1) в виде ряда:

у = аазР -{- E1X?+1 -F А2Л:Р+Я + . . .

Отыщем число р и коэффициенты а такими, чтобы зтот ряд удовлетворял уравнению (1). Мы имеем:

СО СО

»=2./' /=2«»<р+«>*'""1

s-o s-o

00

»"=5Х(р+») (p-M-i)*?+,-a

Подставляя зти ряды в уравнение (1), получим:

ОЭ ОО

2 «, [(р + s)2 — пЦ xr+s + 2 = О

s=0 s=0

Для того чтобы это равенство было тождеством, необходимо, чтобы коэффициенты при х', ж'*1,. . . были равны нулю. Приравнивая нулю коэффициент при жр, найдем

«о (Рг— Ш) = о

откуда:

Примем сначала, что р = -\-п.

Если приравнять нулю коэффициент при ж°+1, то придем к равенству

«1 [(р + 1)г—П8] = 0

из которого заключаем, что а, = 0, Приравнивая пулю коэффициент при х>+' (s Зг 2), придем к соотношению

в.1(Р + »),-п*И-<ц.а=0

которое позволяет выразить коэффициент а, искомого разложения через предшествующие ему коэффициенты:

s2+2ps

12 (в+ 3) 2в-31(в-И)(в + 2)(в + 3)

= (-DS

2»»»!

страница 112
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
rhjdfnm veda5 c yfcntyysv 'ktvtynjv
forward в набережных челнах купить
купить мультиварку с функцией скороварки
Royal London Classic 21208-01

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(24.01.2017)