химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

оложительным, то это равенство берется с плюсом; тогда получим:

5>в

dy

Vh-y •V~2Ly-y'

т. е. время, необходимое для перехода от точки Рг (хг, уг) к Я, (х& j,2).

Если же движение тела направлено в противоположную сторону, то dy будет отрицательным и выражение для di мы должны взять со знаком минус. В этом случае

У. и,

т)»-и_ L_ f dy L С dy

V2g J VW-VZLy-y* V~2g J Vh-y ?V~2Ly-yZ

Уг yt

Таким образом

'f—й-i 'y-w

и мы нашли, что интервалы времени, необходимого для движения по одной и той же дуге в противоположных направлениях, равны между собой. В частности, время, необходимое для движения по дуге от точки О до любой точки Р (х, у) (или от Р до О), равно:

и

dy

V2g\ Vh-y .V2Ly-y*

Произведем замену переменных. Пусть

— у = h siaa Ф

(8)

тогда

(9)

Интеграл в этом выражении есть функция, которая носит незнание эллиптического интеграла первого рода; она обозначается через F (к, Ф):

0F (к, Ф)={ = ,

Таким образом, имеем:

(Ю)

и

где y1 = hsin201 и уа = Азт2Фг.

Выразим /гиф через первоначальные переменные. Так как (из чертежа) h = L(\ — cos а), то

(11)

, л[ h л[ 1 —cos а . а к = У-2Ь =V—2—=SmT

(12)

_ . ?

• л/У л[ 1 —cosO 8Ш 2 "»Ф=К * = КТо7Т -—Г

siny

Обозначив через Г период колебаний маятника, получим: Т =i\f- { -т== = 4 V- F (*? т)

у ' « J уЧ—**81п»Ф f г V 2;

В том случае, когда верхний предел интеграла (9) равен—, функция называется полным эллиптическим интегралом первого рода; ее обозначают через К:

V2L — ft. sin2 Ф

УТсовФ VzLhsm1 Ф — Asin« Ф V2g

Ф Ф

— l/JL Г d» g 1 ,/? S К g »Л-*»вщ»Ф

J I/ 1—r-sina Ф J

о г 2? о

й = |/Г--<1; верхний, предел Ф соответствует точке Р (х, у).

(131

eVi — *4sin* Ф

Таким образом

(14)

Значения эллиптических интегралов (9) и (13) для различных к и Ф также имеются в справочных таблицах.

Пример. В вибрографе для записи горизонтальных колебаний фундамента центрифуги маятник (рис. XV-3), состоящий из рычага с грузом на конце, может качаться вокруг горизонтальной оси пол

421

действием собственного веса и спиральной пружины. Период колебаний маятника Т = 2 сек. Требуется найти: а) длину маятника для 2а = 120° и б) время, необходимое для того, чтобы этот маятник опустился на 30° по дуге, считая от наивысшей точки.

а) Мы имеем а = 60°, Т = 2 сек. Следовательно

и из (14) найдем

откуда

? а 1

,6858

= 0,85 м

\1 L 1 - 1 ' ' 2*({) 2'«

9,81

' (2 • 1,6858)"

б) При в = 60° величина Ф, очевидно, составляет 90°; при 6 = 30° мы также из (12) имеем

Аналогично, подставляя х = sin Ф в (4), мы получим эллиптический интеграл второго рода в следующем виде:

do)

х*

0Эллиптический интеграл второго рода можно записать в таком

Ф Ф

виде:

Следует отметить, что подынтегральные выражения (15) и (16) представляют собой рациональные функции от а: и корень квадратный из многочлена 4-й степени, т. е. каждый из этих интегралов является частным случаем следующего интеграла:

Ji?(x, |o0x*-j-tti3-j- а2ж2 -|-а3х+ а4) dx (17)

где R — символ рациональной функции ее двух аргументов.

Некоторые интегралы типа (17) могут быть представлены через элементарные функции. К ним относится интеграл типа

Г 4flox_b3ai2-j-2а2ж-}-йз

sin Ф =

0,2588

sin 15°

sin 30ч 0,5000

= 0,5176

* J Vаох*-j-Oiz34ra2x*-r-a9x-]rai

Однако в общем случае интеграл (17) включает в себя две функции (15) и (16) и эллиптический интеграл третьего рода, который имеет следующий вид:

откуда

Ф=31° 10'

Пользуясь формулой (10), получим:

F (1,31° 10')] =

§ 3. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА

(0<*<1)

(15)

V(lЕсли в формуле (9) мы сделаем подстановку х = sin Ф, то получим другой вид эллиптического интеграла первого рода:

F (к, ф) = Р(к, х)~' (VL— №XI) dx

' 1 (1— п

(i—nxZ) У (1 — х*) (1—№х*)

где п — постоянная.

§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим графики (рис. XV-4) подынтегральных выражений эллиптических интегралов первого и второго рода:

а= 1 »= Vl — яп'Ф

Vl —к' эшЗф

± я, . .

Мы видим, что первая функция имеет период я с осями симметрии

причем ее значения колеблются в пределах

от минимума, равного единице, до максимума, зависящего от величины К. Аналогично функция У = ]FL — КГ SINI* Ф имеет период я с осями симметрии Ф = 0, :

., но здесь максимум равен

единице, а от модуля К зависит минимальное значение.

Вследствие периодичности и симметрии этих графиков и так как эллиптические интегралы F (к, Ф) и Е (к, Ф) представляются геометрически площадями под соответствующими отрезками кривых, для табулирования F (к, Ф) и Е (к, Ф) необходимо иметь данные только для значений Ф в пределах от 0 до 90°.

§ 5. ЯВЛЕНИЕ КАПИЛЛЯРНОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ВЕРТИКАЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ

(35)

В гл. XIV, § 4, мы рассмотрели теорию капиллярности и получили дифференциальное уравнение, описывающее это явление:

у" pg_ 4

(1 _,'?)?/? ~ Т V- c*V

где р — плотность жидкости, g — ускорение силы тяжести, Т — поверхностное натяжение жидкости и с=2|/

страница 110
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
кирпич поротерм 44
медсправка для водителя
музыкальное оборудование в аренду
стенды информационные купить в москве сзао

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(26.06.2017)