химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

-f-С представляет собой общее выражение всех первообразных от f(x).

Общее выражение всех первообразных от / (х) называют неопределенным интегралом от f(x) и обозначают:

J j(x)dx=F (х)+С (8)

Функция / (х) называется подынтегральной функцией, a.f(x)dx — подынтегральным выражением.

Из определения следует, что производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

В самом деле, из определения интеграла следует, что если:

f(x)dx=F(x)+C, to--=/(i)

i

d J" / (x)dx=i [x)dx

Последнее равенство показывает, что интегрирование и дифференцирование представляют собою обратные действия. Точно так же

Всякой формуле дифференциального исчисления F'{x)-~l(x); dF(x) = j{x)dx соответствует формула интегрального исчисления:

| / (х) dx= F (х)-\-С

Приведем таблицу основных интегралов. Таблица эта является обращением таблицы основных производных:

При изучении дифференцирования мы установили ряд простых правил, с помощью которых можно легко найти производные любых элементарных функций. Для интегрирования подобные общие правила не существуют, — можно лишь указать отдельные приемы интегрирования, пользуясь которыми удается проинтегрировать некоторые функции. Существуют элементарные функции, неопределенные интегралы от которых нельзя выразить через элементарные функции.

Перечислим некоторые правила интегрирования.

1. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла:

§Cf(x)dx = e§f(x)dz (9)

2. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической

сумме интегралов отдельных слагаемых:

Если нам известен интеграл

§j(x)ix = F(x) + C то, заменяя х линейной функцией ах + b, будем иметы

Во всех приведенных формулах х можно заменить какой-либо функцией/ (х), так что каждая иа Этих формул обнимает множество частных случаев, соответствующих различным видам функции f(x). Таким образом, имеем, например, следующие формулы (24)

Эта формула носит название формулы интегрирования по частям. С ее помощью мы сводим вычисление интеграла, стоящего в левой части, к вычислению другого интеграла, — стоящего в правой части. Часто этот интеграл оказывается проще исходного. Примеры.

1) Jlnxrfz.

Полагая

Нельзя дать общего правила, как нужно разлагать подынтегральное выражение на множители и и dv. Во всяком случае разложение это следует делать так, чтобы можно было определить функцию у и чтобы полученный новый интеграл был известен или, по крайней мере, проще первоначального.

6. Интегрирование посредством замены переменных заключается в том, что при вычислении интеграла

{/(х)<г*

39

вместо переменной х вводится новая переменная t, связанная с х некоторой зависимостью. Эгу зависимость стараются выбрать так, чтобы преобразованный интеграл был проще данного интеграла. Общих методов для выбора подстановки указать нельзя, выбор этот определяется математической структурой подынтегральной функции.

Примеры.

1) j* sin2 х cos х dx.

Полагаем:

sin x = t; cos xdx—dt

С С № .sin$ x

\ &\n?xcosxdx= \ t*dt = ——C=~- \-C

Тот же интеграл можно вычислить иначе:

С С sin х

\ sin2 х cos х dx = \ sin2 xd (sin x)~— \-C

2) f--.

J sin з

Полагаем:

2 cos2 •

Пусть в момент времени х — 0 вертикальная составляющая скорости движения равна w0. Vis (25) вытекает:

wa=C

Следовательно, функция

u> = gx + w0

определяет скорость падения тела в любой момент т.

Рассмотрим еще пример с инверсией сахара. Мы нашли, что

. 1 dx

к а — х

(26)

Отсюда интегрированием получаем:

1 4

T=-i-ln—i LC

к п. — т. *

Значение постоянной С можно найти следующим образом: если считать время от начала реакции, то при т = 0 количество инвертированного сахара ж = 0, откуда

к а 1

Определяя отсюда С и подставляя его значение в формулу (26), имеем:

1 , 1г-In

к а—:

1 toJi InL_

как Д'—х

\ sin x \ „ ? x x \ x x \ t 6 I

J J2smTC0ST J2tcos2Y J

?+c

к= — In ?

(27)

При вычислении неопределенного интеграла мы получаем бесчисленное множество функций, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым. Для того чтобы из совокупности первообразных функций выделить одну определенную, необходимо задать некоторое дополнительное условие. Обычно это условие заключается в том, что задается числовое значение искомой первообразной функции при некотором значении независимого переменного. Это дает возможность найти то числовое значение, которое следует придать произвольному постоянному.

Рассмотрим для примера свободное падение тел. Ускорение прямолинейного движения равно производной от скорости ю. Для свободного падения:

dw 1х~

Отсюда

«> = |« dx + O

t? = gx + C

Следовательно

(25)

На практике обыкновенно определяют С иначе. Опытным путем находят количество сахара хъ инвертированного за время т; тогда

т1==4-1п— \-С

к а—Xi 1

T!-T = l-In-J—

к a — Xi

откуда легко определить С. Подставляя значение С в формулу (26), имеем

1 ? 1 1 , а — хг- In == — In —

к а — х к а — хл

к=(28)

откуда

Х\—т а — xi

§

страница 11
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
купить сетевое хранилище для дома
регулятор температуры fk 151 p70b
Купить квартиру или апартаменты на метро Тверская в Тверском районе
заправка чиллера hitachi

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(24.11.2017)