химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

л (3) не берется в элементарных функциях от Ф и определяет собой новую функцию, обозначаемую через Е (к, Ф):

Е(к, Ф) = J Vl — *281п2ф<гФ (0<*<1)

(4)

Глава XV

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ S 1. СПРЯМЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА Рассмотрим уравнение эллипса:

*г 1 у2

где а = ОА — большая площадь и Ь = ОВ— малая площадь (рис. XV-1).

Пусть ОР' есть радиус окружности с центром в начале координат О, Ф — угол между ОР' и положительным направлением оси у,

а Р (х, у) точка пересечения перпендикуляра P'Q к оси X с эллипсом. Тогда непосредственно из чертежа видно, что

х = ОО = a sin Ф и в соответствии с (1)!

y = PQ = L yA2—xz =ЬсоэФ (2)

Найдем длину дуги S эллипса, заключенную между точкамиВ и Р. Мы будем иметь:

Рис. XV-1. B = № = lV+aW~

Ф

= j" У a* cos2 Ф (РФ + Ы sin" Ф <РФ о

так как dx = a cos Ф d<3? и dy — — ЬвшФФ, причем верхний предел интегрирования есть значение Ф, соответствующее точке Р (х, у). Подставляя вместо cosa Ф выражение 1 — sin2 Ф, получим: sin2 Ф <*Ф =

Ф Ф

= я J Vl — №ат*Ф с!Ф

5 = i? = J УФ — (О*— 62) sin* Ф *Г> = а? j/l—ф — Ь%

Вследствие своего происхождения Е (к, Ф) носит название эллиптического интеграла. Следует отметить, что Е (к, Ф) представляет собой функцию двух аргументов: параметра к, которое называется модулем эллиптического интеграла, и верхнего предела Ф, называемого амплитудой эллиптического интеграла.

Согласно принятой в настоящее время классификации эллиптических интегралов, функция Е (к, Ф) называется эллиптическим интегралом второго рода.

= 4*J/

(5)

(*f)

Из чертежа и из формулы (3) следует, что полная длина эллипса равна

1— к* sins Ф 4Ф = 4аЕ

(6)

Это значение функции Е (к, Ф) при Ф = у- называется полным эллиптическим интегралом второго рода и обозначается через Е (к) или просто Е:

Е = Е (*)= J Vl— к* sm*В гл. XIII было показано, как вычисляются интегралы типа (4) и (6) с помощью бесконечных рядов; значения эллиптических интегралов приведены в таблицах, используемых в расчетной Практике.

Пример. Дан эллипс хг +? у2 = 6. Определить общую длину эллипса, а также длину дуги между точками с координатами х = 1 и х = 1,5.

Полуоси эллипса составляют

а=Уб и Ь-У1

Следовательно

a d

Общая длина эллипса:

L = iaE [к) = 4 УК Е (0,8165)

В таблицах эллиптических интегралов значения Е (к) связаны е, тригонометрической функцией arcsin к.

416

27 Заказ 1706

417

В данном случае имеем:

arcsin 0,8165 = 54° 44'

Далее находим:

Е (sin 54°) = 1,2681 п Е (sin 55°) = 1,2587 После интерполирования получим:

Е (sin 54° 44') = 1,2612

И

? = 4 У 6 -1,2612 = 14 При определении длины дуги между z=l и ж = 1,5 имеем:

s]x=l ,J = S]Ј=O'J = S]Ј=O

Так как х = аятФ, то

У5

Ф1*-1 = arcsin -4— = 24° 6' о

Ув

OU,i= arcsin -!у- =37° 46'

Следовательно

»К:}'6=/б [Я (0,8165; 37° 46') —?(0,8165; 24° 16')]

Для вычисления этих двух эллиптических интегралов необходимо произвести двойное интерполирование данных таблицы. Удобнее производить расчеты при помощи таблицы:

45" 54° 14' 60" 45° 54" 4/,' 60'

35° 0,5928 0,5866 0,5833 20° 0,3456 0,3444 0.3438

37° 46'

0,6285 24° 6' 0,4124

40° 0,6715 0,6624 0,6575 25° 0,4296 0,4273 0,4261

Таким образом, имеем окончательно:

s]JSJ'5 = VT (0.6285 — 0,4124) =0,529

§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА

Рассмотрим колебания жесткого маятника (рис. XV-2), который представляет собой груз весом т, сосредоточенный в одной точке и подвешенный на нерастяжимом и невесомом стержне длиной L. Величина угла, в пределах которого совершаются колебания, равна 2а. Пусть груз в момент т находится в точке Р (х, у), а 9 обозначает угол между АР и осью у. Очевидно, что —a =s 9 а. Если s есть длина дуги, отсчитываемая от точки 0, то производная a's'dx* представляет собой касательную составляющую ускорения,

'.18

(7)

которая в соответствии с уравнением Ньютона пропорциональна касательной составляющей силы веса — т sin 9. Таким образом,

т. d*s . л

—RASMO

g dx*

При малых значениях а мы можем, как известно, принять sin 9 равным 9. Тогда, вследствие того, что s = LQ, уравнение (7) приводится к линейному дифференциальному уравнению второго порядка, решение которого соответствует гармоническим колебаниям

с периодом 2л |/"у, не зависящим от а.

Однако здесь мы не будем пользоваться этим упрощающим предположением, а попытаемся решить нелинейное уравнение (7).

Пусть v =

d*s dx*

dv dv ds / dv \

dx ds dx \ ds J

тогда

dv

dy

ds

dv = -g

Умножая обе части равенства на ds, мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными у и и. Интегрируя его, найдем:

Ф2-—

Обозначим через k максимальную высоту точки Р над осью х, причем h < 2L. Поскольку v = 0 при у = 0 имеем 0 = — gh 4- Си т. е. С\ = gh. Следовательно—=g(h~y)

Но ds= d'J „ и, так как (из рис. XV-2)

. . Уь* — (L — у)*

smO = - -—

то

, Ldy

Угьу-у*

27*

419

Отсюда найдем!

dy

V2g Vh-y •VlLy-y*

Если движение тела направлено вверх и, таким образом, dy остается п

страница 109
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
обучение по программе автокад в подольске
Royal London 20006-02
Кликайте на объявление KNS, закажите с промокодом "Галактика" - ноутбук Асер Аспире купить в Москве и с доставкой по городам России.
кресла качалки

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(04.12.2016)