химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

= ctha u — i sh (—u.) ——sh и ch (—u.) = ch и th (—и) — th и sch (— u) = sch u csch (—u) = csh u cth(—u) =cth и sh (u-f-v) = sh исЪ v-j-ch ushu sh (и—y) = sh исЬ ch ushw ch (и + г) = ch и ch i; + sh и sh ? ch (u. — v) = ch w ch i; — sh u sh v sh 2н = 2 ch ushu ch 2«=ch2 u + sh2 и

—— sh u = ch u du

—j- ch и = sh и du

J sh и du = ch w j*ch u.du.= sh u

(la) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)

(16)

(17) (18) (19)

e" = ch u + shu fi-" = chu — sh i

Чтобы получить (10) сложим (а) и (б) (см. § 1):

1 и J

Затем из (б) найдем:

sh (K + iO = 4-[Ј"+°-e~(u+")l = 4-(e°e°-e~V"°>

2

Применяя (24), найдем:

sh (o + i;) = -|-[(ch u + eh и) (chu + shf) —(chu —sh«) (chi> —shi>)l = = ch и

= sh и ch i>+ch Msho Формулы (16) и (19) определим следующим образом:

d __ Л <Р — еdu du 2

Отсюда имеем:

J ch и d« = sh и Далее для (20), (21), (22), (23) имеем:

eh в=-±-(«?-«-«) =

Ч[('+-Нг+?+"0Ч'-»+?Чг+---)](24)

404

405

ch II

IT? . ILI

TМы можем использовать эти ряды для функций sh и и ch и и в том случае, когда и является мнимой величиной. Пусть и = iv, тогда

sh (,,) = + . . . =„___+___ . . . ) = isin[,

dw

Дифференциальное уравнение примет вид:

/ W* \

1 21+4!

1 1

smi> = — sh (ft>) = —(е'»_е-»)

1 1

cosi> = -—ch (iv) = — (e"> + «-'•)

* 2

4И-Ц1Г+-гГ +• Из (22) и (23) имеем:

(25)

Кроме того, приведем дополнительно следующие соотношения:

(26)

arcsh -—= In—1 ! • arcsh — = ± In —Л11 i—

Отделяя переменные, получим: = gdx

gx

(32)

Интегрирование этого выражения дает [см. формулы (26) и (27)]: v arcth ~- = gx-\-C Так как ш|,,о = 0, то С = 0 и

dH

w — v th

Подставляя вместо w и снова интегрируя, найдем:

arccsch — = In

z 1 , a 4-х arcth —= — In —31-. a 2 a — x '

sin (3-j-ty) = sina: ch y+i cos J: shy cos (i+ iu) = cosa; ch y — t sin zshy sh (x-)-ty) = sh a: cosy+г ch xsinji ch (x-\- iy) = ch * cos y-\- i sh x sin у

(27)

(28) (29) (30) (31)

(33)

Я=—lnch- + C!

Постоянная интегрирования Ct здесь также равна нулю, так как Я = 0 при т = 0.

Исключим из (32) и (33) величину т следующим образом:

1 1 v

§ 3. ОСАЖДЕНИЕ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОСТИ

Пусть твердая частица осаждается в жидкости, причем сопротивление, направленное вверх, пропорционально квадрату скорости, предельная скорость (см. гл. V, § 14) равна и, а начальная скорость равна нулю.

В данном случае дифференциальное уравнение движения частицы имеет следующий вид:

то dw g dx

Условия задачи:

dH dx

i",-o = 0. uj = u при -г = 0

Я,«0 = 0 где ш -Выразим коэффициент X через v. Так как при ~ = 0 постоянная скорость w = v, то имеем:

т— Ь2 = 0

406 а у V*— w*

(34)

Подставляя в (33), будем иметь:

Я = -1п

g Yv* — w*

Формулы (32), (33) и (34) дают полные решения поставленной задачи.

| 4. ЗАДАЧА О КАПИЛЛЯРНОСТИ

Явление капиллярности характеризуется следующими закономерностями.

1. На граничной поверхности, отделяющей жидкость От газа, существует поверхностное натяжение, одинаковое по величине в любой точке.

2. На границе этой поверхности и твердой стенки поверхность жидкости образует угол с поверхностью твердой стенки, величина которого зависит только от свойств стенки, жидкости и газа.

407

Рассмотрим пластинку MKNL, погруженную вертикально в жидкость (рис. ХГ7-3). Под действием сил поверхностного натяжения смачивающая пластинку жидкость поднимется, а не смачивающая опустится. Требуется определить форму поверхности жидкости. Найдем уравнение, которому она подчиняется. Рассмотрим случай,

Рис. XIV-3.

когда пластинка очень длинная (KN = ML велика). В этом случае кривые пересечения {АВ и А'В') поверхности жидкости и вертикальных плоскостей, перпендикулярных пластинке, можно считать одинаковыми, т. е. поверхность жидкости можно считать составленным из семейства одинаковых линий АВ. Таким образом, задача

стала плоской и для определения уравнения поверхности достаточно найти уравнение плоской кривой АВ.

Рассмотрим систему координат XOY так, как показано на рис. ХГУ-З. Так как поверхность находится в равновесии, то ее уравнение найдем из условия равенства нулю суммы всех сил, действующих на каждый элемент поверхности.

Возьмем на поверхности жидкости полоску АВА'В' шириною А А' = 1 см. Выделим из этой полоски элемент POP'О', причем PQ = AS и РР' = 1; следовательно, площадь полоски составляет AS см2. Рассмотрим теперь столбик жидкости PQP'Q'RSR'S', ограниченный элементарной поверхностью. Примем следующие обозначения (рис. ХГ/-4):

Т — поверхностное натяжение, т. е. сила, направленная по касательной к поверхности жидкости, дин/см2;

9 — острый угол между касательной и вертикалью в любой точке Р;

а — фиксированный угол контакта между жидкостью и пластинкой) г — радиус кривизны, PD, кривой АВ в точке Р, см; р — плотность жидкости, г/см3.

В соответствии с закономерностью 1 поверхностные натяжения Т на обоих концах элементарной поверхности равны между собой. Вследствие этих натяжений результирующая сила, нормальная к элеме

страница 106
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
участок в подмосковье с коммуникациями новорижское шоссе
размещение информации информационных стендах
scorpions олимпийский 2017
купить ширму для комнаты в интернет магазине

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(22.09.2017)