химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

ности на промежутке от —я до п, так как коэффициенты разложения выражаются посредством интегралов от функции / (ж).

Можно показать, что если функция / (ж) удовлетворяет на промежутке от —я до я следующим условиям:

1) если она имеет на этом промежутке конечное число точек разрыва (или непрерывна), причем все эти точки разрыва первого рода *; 2) если она имеет на этом промежутке конечное число точек

Если функция задана лишь на промежутке 0 < ж < я, то приведенные выше соображения позволяют по нашему выбору разлагать данную функцию в ряд, содержащий только одни синусы или одни косинусы. Если желателен ряд с косинуеами, то функция определяется в интервале от —я до 0 так, чтобы было / (—ж) = / (ж); тогда коэффициенты ап определяются из формул (28). Если желателен ряд с синусами, то функция определяется так, чтобы было

/(-*)"=-/(*)

и коэффициенты Ьп определяются из формулы (30).

Пример. Функцию / (as) = l (0 < х < п) разложить в ряд по синусам. Тогда при — л<><0 мы должны принять f (х) = —1. Коэффициент Ъп найдем из формулы (30):

* Если в точке ж функция / (х) имеет разрыв, то этот разрыв называется разрывом первого рода, если при подходе к этой точке слева и справа функция / (х) стремится к определенным, конечный пределам.

sin пх dx

398

399

При п нечетном мы имеем °п=-> а при п четном Ьп — 0. Таким образом

коэффициенты которого определяются следующими формулами:

i

1

°° = 2Г \ f d*

(36)

(37)

(38)

.. . ппх f (х) cos —j— ах

, . ппх , t sin —j— dx

Пример. Разложить в тригонометрический ряд функцию /(ж), равную двум в интервале от — 2 до 0 и равную х в интервале от 0 До 2. На рис. ХШ-5 изображен график этой функции. В соответствии с формулами (36), (37) и (38) имеем:

2 cos —-— dx +

H

a0 = -i- J 2dz + -i- J xdx =

я; cos—— dx

и данная функция разлагается в следующий ряд:

/ (ДГ) = Jsin "+- sin3z-)--|. sin Ъх . . .J

(34)

1 f „ . ляг , , 1 P

x sin —— dx~Если построить графики отдельных слагаемых, входящих в квадратную скобку формулы (34), то получим ряд синусоид. В результате графического сложении этих синусоид получим прямую, параллельную ОХ. На рис. ХШ-4 построены графики частичных сумм ряда (34):

1

y = sinx; y = sin x-j- —sin3z

1 1 .

?г хг

y=sinz4- — sin3x+— sin5x

Рис. ХШ-5.

3 5

Эти кривые при увеличении п стремятся к

прямой линии у = —.

4

, Чт1 / ппх , , ппх \

4+ > ( cos ——-i-b„sia

, Если требуется разложить в тригонометрический ряд функцию, заданную на промежутке (—1, I), то вместо ряда (25) мы получим ряд

(35)

При подстановке коэффициентов в ряд получаем следующее разложение:

,, . 3 4 / пх i Зяд: , 1 Ьях . \

1W =2 - "ST (C°S — + TC0S -Z~+ 25 C0S — +•••) "

2 / . 1И i 1 . 2ях 1 . Зш \

—n{Sm — +1S1D— +-3Sm — +? ' 'J

Если в ряд, стоящий в правой части, подставить вместо х нуль, т. е. абсциссу точки разрыва данной функции, то правая часть обратится в

~2 ~ я2"(1+9"" 25* + * * * )

Так как сумма тригонометрического ряда в точке разрыва непрерывности равна полусумме предельных значений функция при подходе к этой точке справа и слева, то это выражение должно быть равно единице. Отсюда можно получить сумму ряда, стоящего в скобках:

1+-+-+...= 9 ~ 25 ~ 8

400

26 ЗАКАЗ 1706

то подставляя в (1) сначала значение у из уравнения окружности, а затем значение у из уравнения гиперболы, будем иметь:

Глава XIV ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Аналогично круговым, тригонометрическим функциям, которые часто вводятся с помощью некоторых соотношений в окружности, гиперболические функции удобно связывать с некоторыми соотношениями для гиперболы.

'/—ydz

a arctg — = — {х dy — y dx)

В курсах дифференциального исчисления доказывается, что пло-шадь сектора POQ (рис. XIV-1) составляет

где х и у — прямоугольные координаты точки Р.

Рассмотрим окружность с единичным радиусом и гиперболу на рис. XIV-2. Обозначим через и площадь сектора ОРАР' при OA = 1, выразим прямоугольные координаты х и у точки Р через и, С расширением этого сектора точки Р шО перейдут, соответственно, в Р' и Q'. Таким образом, дифференциал площади и равен удвоенной площади элемента POQ, т. е.

Рис. XIY-2. Таким образом, мы имеем:

еи + е-"

Л и= -—

Выражая у через и, получим:

для окружности

y=Yl—x* =

= V1—cos2 и = sin и

для гиперболы -_ УхТ-~[=Ус№ и —1 =

(а)

(1)

du = x dy — у dx

Так как для окружности и гиперболы справедливы следующие соотношения:

492

*2 + УГ = 1 И 12 —у2 = 1

26*

403

следовательно

sh и= 2

ch и

ch.2 и — l = sba и По аналогии с круговыми функциями имеем:

sh и

1

th и 1

ch u 1

shu

th и —

cth и = sch u = csch и =

(6)

(20)

(21)

(22) (23)

8,"="+iT+Ґ+T+ch u=l + -jr +-4Т+"бТ + sh iu — i sin w ch iu — cos и

Формула (la) была выведена в § 1. Для получения (2) воспользуемся определением гиперболических функций

Формула (4) может быть выведена следующим образом!

sh (—u) = 5-—— sh и

§ 2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ

ch2 и—sh2 u=l sch2 — th2 и csch2 w

страница 105
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
курсы на аудитора
дачный поселок участки
Кликни и закажи компьютерную технику со скидкой, промокод "Галактика" - dell мониторы купить - онлайн кредит "не выходя из дома" по всему РФ!
курсы кадровиков с трудоустройством в москве

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(03.12.2016)