химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

именении к линейным уравнениям.

где к — коэффициент пропорциональности.

Известно (см. гл. II § 4), что расход через полоску сечением bdz, расположенную на dz ниже уровня жидкости, составляет Vigz-bdz. Следовательно, расход Ог через прямоугольное отверстие CDRO будет

(14)

Ci = »/2g f V~zdz = 4rbV2gUa + h)*l-* -h'l'\

i 3

(15)

а расход Q2 через отверстие ORSF равен:

л

Qi=2g J Vh—yxdx о

(16)

Приравнивая Q сумме Qx и Q2, получим:

к (h + bVrg[(a+h)'l*-h'ln+V2g \V~yxdx

Эхо соотношение действительно для всех неотрицательных значений А.

Положив h = О, найдем

Интегрируя (21) почленно, будем иметь: 2

f х Vh~ydy=-T А1п'1' + —пАф* +

+ Л3НЬ+ЛЕЯА+А+ ...

(22)

откуда

(17)

k = b Vlga

Подставляя это значение к в (16), получим:

a'l'bVrg{h + =bV2l[(* + h)'l'-h'l'\ + VTg (Vhyxdy;

= JL ь [a'l'+ja'l4i + h',, — (a + h)','~ (18)

Задача состоит в том, чтобы найти х как функцию от у при условии, что равенству (18) удовлетворяют все положительные значения о и А. Так как характер функциональной зависимости между х и у не предопределен, то естественно принять для х бесконечный ряд, включающий в себя у, и определить коэффициенты таким образом, чтобы (18) было удовлетворено. С этой целью потребуем, чтобы правая часть (18) была выражена в виде ряда:

[ xVk-ydylb (h'li~-a-t''h* + 4;r128 T 256 I

(19)

Очевидно, что xVh — у может быть представлено рядом, который после интегрирования относительно у с порледующей подстановкой пределов дает ряд, идентичный с правой частью (19). Установлено, что это условие удовлетворяется, если

x=Al+Aiel'+A2yl- + АМ'1' + АЪУ'1'+ . . . (20)

где Аи А2, А3,. . . — постоянные коэффициенты, значения которых должны быть определены.

h

Подставив это выражение для х в j х Vh — у dy, получим:

о

ft h h

(21)

J xVh — ydyAi \ Vh~ydy + A% \ Vhy-y*dy +

+ А3$уУ~ку-уЧу + . . , о

396

?is-"""*

При сопоставлении (22) с (19) найдем:

А,—Ъ; А* — — д''б; j

ат

2 _-.

(23)

Следовательно

t-b\i-±(jLl—LlL4.jl!l— »'" 4- YI

|«|<17 т

Но

arctg и= и 3- + —

(24)

Таким образом, окончательно получим Уравнение (24) и есть уравнение кривой SPR.

§ 7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ

При решении дифференциальных уравнений и при рассмотрении других задач математического анализа приходится пользоваться также и не степенными рядами. Особенно часто применяются так называемые тригонометрические ряды. Под тригонометрическим рядом мы понимаем ряд

/ (х) = а0 + а1 cos i+ejCos 2х+ . . . + ал cosi»-f- . , . -f oj sin z+ -f-i2sin2i+ . . . +Ь„ашпх+ ... (25)

расположенный по синусам и косинусам кратных дуг.

Так как каждый член этого ряда есть периодическая функция с периодом 2л, то и сумма ряда имеет тот же период.

Пусть на промежутке — п < х < л нам задана функция у = = / (ж). В курсах математического анализа доказывается, что если функция может быть представлена в виде ряда (25), то коэффициенты Этого ряда должны иметь следующие значения:

те

"•="5Г \nx)dx

(26)

яд — L- 1 (х) cos kx dx\ bit~-L J / (л:) sin кх dx

397

Разложение функции в тригонометрический ряд упрощается, если функция / (ж) является функцией четной или нечетной.

Если / (ж) — четная функция, т. е. если / (ж) = / (—ж) (рис. ХШ-2), то она может быть разложена в ряд по одним только косинусам:

/ (г) = а0 + а1 cos z+я2 cos 2*+«s cos3z + . . . (27)

(28)

Коэффициенты этого ряда имеют следующие значения:

it

e0 = -i-J/(*)Если / (ж) — нечетная функция, т. е. если / (х) = — f (—ж) (рис. ХШ-З), то она может быть разложена в ряд по одним только синусам

/ (х) = bi sin х + Ьг sin 2х+Ь3 sin Зх +.. ?

(29) максимума и минимума (или совсем их не имеет), то тригонометрический ряд (25), соответствующий функции / (ж), имеет своей суммой / (ж) во всех тех точках промежутка — я < ж < я, в которых функция / (ж) непрерывна.

В точках разрыва сумма ряда (25) равна полусумме предельных значений функции / (ж) при подходе к этой точке слева и справа.

Если в ряд (25) вместо ж подставить число, лежащее вне основного промежутка —я <[ ж < я, то, ввиду периодичности всех членов тригонометрического ряда, сумма его будет представлять собою функцию, являющуюся периодическим повторением с периодом 2я функции / (ж).

Пример. Разложим функцию

Цх) = \—х (31)

в ряд в промежутке от —л до л. Подставляя (31) в формулу (28), получим:

? х) (te = l

о„ = - J (1 — х) COSM dx(1—х) sin пх dx = — (—1)"

2 1? = 1 —2 sin я-j-sin 2х—— sin 3r+-j sin4Ј-fСледовательно, функция (31) разлагается в следующий ряд: 1(32)

причем:

о?= ~- / (х) sin кх dx

(30)

Отсюда можно подучить такое разложение:

t

ill "1

SMI—-sin 2z + -jsin3z--sin4z+ • • ? J

(33)

Выше мы видели, что для возможности разложения функции / (х) в степенной ряд, расположенный по степеням х — а, необходимо, чтобы функция была непрерывна в точке а и имела в этой точке производные всех порядков. Для возможности представления функции тригонометрическим рядом нет необходимости требовать ее непрерыв

страница 104
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Гейзер 1П 1/2
бутсы найк магистра
Компания Ренессанс: лестницы graz - доставка, монтаж.
применение белых микс-лент

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(28.02.2017)