химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

циальное уравнение у' = / (ж, у) не приводится к квадратурам (т. е. к вычислению неопределенных интегралов), то во многих случаях решения этого уравнения могут быть получены посредством степенных рядов.

(8)

Если мы ищем интегральную кривую уравнения у' = / (ж, у), проходящую через точку (а, Ь), то следует искать решение в виде ряда Тейлора, расположенного по степеням ж — а:

21

<Х-АУ

»(*)=»(*)»'(«)arctg x=x-+•

(-1 '

x* . aЈ ~3~+1~

Чем меньше \x\, тем меньше членов следует брать в этих рядах для вычисления числовых значений / (ж) с желаемой точностью. Если значение | х | весьма мало, то достаточно ограничиться только одним или двумя первыми членами, отбросив все остальные. Таким образом можно получить весьма простые приближенные формулы для вычисления / (ж).

Приведем некоторые, наиболее часто встречающиеся приближенные формулы:

«<1ТX*

2

1 ±1«й + —• sin х х

COS X 1 ~ут±ъ

(1 ±х)" «=> 1 ±пх; tgzzax ах i-\-x In я; ln(l±z)±x Если нам известны значения функции / (ж, о) и всех ее частных производных при х=ашу=Ьи если эту функцию можно представить как сумму некоторого степенного ряда, расположенного по степеням х — а и у — Ь, то значение функции в точке х, у определяется следующим рядом:

/(*, »>=/(., »)+[(*-«.)0,-ь) -|LJ +

причем частные производные вычисляются в точке (а, Ь).

Ряд, стоящий в правой части формулы (7), называется рядом Тейлора для функции двух независимых переменных. Формула (7) является обобщением формулы (5) на случай функций, зависящих от двух независимых переменных.

Аналогичные ряды могут быть получены для функций, зависящих от любого числа независимых неременных.

Задача сводится к отысканию коэффициентов у (а), у' (а) . . . этого ряда. Но у (а) — Ь, согласно начальному условию, а у' (я), у" (а) . . . могут быть найдены из самого дифференциального уравнения и из уравнений, которые получаются из него дифференцированием по ж.

(9)

Припер. Найдем интеграл уравнения?-*+»?

удовлетворяющий условию" у = Ь при х=а. Мы имеем: у' (а) = й-{-Ь* Дифференцируя данное уравнение, найдем:

?3-»Ш + *-3-: (Зг).-.<-+4-+н-'*> - *

Подставив эти значения в формулу Тейлора (8), получим:

(10)

у = Ь + (а+ 6») (*- «) + —- (1 + 2аЬ + 2*3) (г - «)» +

+Tr(a2+4o6!! f й+зй4) <г-"г3)+" ' + . . .

В частности, если принять а==1, Ь = 0, то решение (10) обращается в

41

3!

>—1)» | 2 (г —1)3 , 6 (» — !)*

2 I

Разложение в степенной ряд искомого интеграла можно получить иначе. Если мы ищем интегральную кривую, проходящую через точку (а, Ь), то полагаем

y = b + a1 (х— a)+n, (I—«)» + . . .

и подставляем этот ряд вместе с производной у' в дифференциальное уравнение. В полученном при этом тождестве приравниваем

303

коэффициенты при одинаковых степенях х — а. Получим систему уравнений, ив которой можно, вообще говоря, определить коэффициенты искомого разложения аь а2,. . .

Пример. Решим уравнение (9) этим методом. Ищем интегральную кривую, проходящую через точку (0, flo)Предполагая, что искомая функция у может быть разложена в степенной ряд, ищем решение уравнения (9) в виде

(И)

dy

y—a0-\-aiX-\-й2з:а-{-йзз:3+. . . иг = 4 + 2<101!1г + (2<10а2-(-о2) *i-|-(2e0Подставляя эти выражения в уравнение (9), получим:

а1 + 2а2х+За3хг-т-Ьчэ>> + - ? ? = »S + (1 42Приравнивая коэффициенты при х с одинаковыми показателями степеней будем иметь:

«1 = «8 2А2=142А0°1 3a3 = 2A0o24AF 4o4=2A0a342OIO2 и т. Д.

При получении решения в виде ряда, естественно, возникают вопросы, связанные со сходимостью полученного ряда. Мы не можем здесь касаться этих вопросов. Отметим лишь, что даже не всякое линейное уравнение можно решить этим методом.

§ 6. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ РАСХОДОМЕР СО СВОБОДНЫМ СЛИВОМ

В этом измерительном приборе расход пропорционален высоте слоя жидкости. Такого рода приборы используются для контроля работы автоматически регулируемых запорных устройств, а также в качестве расходомеров и дозеров.

Пусть отверстие свободного слива ограничено вертикальными ребрами DR = а и CF — a -\-h, горизонтальным гребнем CD = Ъ и кривой SR, уравнение которой относительно осей, показанных на рис. XIII-1, необходимо установить таким образом, чтобы была обеспечена пропорциональность расхода.

Обозначим О расход жидкости через свободный слив и примем, что линия MN, проведенная для удобства расчета и практического пользования на расстоянии от а/3 от гребня, является началом отсчета. Тогда будем иметь:

Выражая значения Й2, Й3»

через ав, получим:

Ч = 4 + аЬ

0з = ао4~

Подставляя эти значения аъ й2, й3, ния (9):

J, = AO4*4(»o3 + T)+(+-|L) + (<+1|-a»):!!l +

(12)

1

1

У-' 20

Вели мы выберем произвольную постоянную о0 так, чтобы кривая, соответствующая функции (12), проходила через начало координат, то из (11) получим а0 = 0. Следовательно, решение уравнения (9), удовлетворяющее начальному условию у = 0 при х — О, будет:

хЗ 4 •

г" ' 20 " 1 160

Особенно удобен этот метод в пр

страница 103
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
пионы и матиола в букете
Рекомендуем компанию Ренесанс - металлические чердачные лестницы - качественно и быстро!
стул jola
мини склад круглосуточно

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(11.12.2016)