химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

ВИЯ С РЯДАМИ

Если ряды

!>1-гА+!>з+. • - + Ъп-\

сходятся и если суммы их, соответственно, равны А а В, то, складывая ряды почленно, получим новый ряд

(<4+h)+(4+h) + - ? . + (<»*-Ил)Н

сумма которого равна А -\-В,

Частичные суммы А„ и В„ (т. е. суммы п членов каждого ряда) определяют со сколь угодно малой погрешностью суммы А и В при достаточно большом п, а следовательно, А„ +Вп определяют сумму А -f- В с любой степенью точности. Таким образом, последовательность сумм

l+Bl = (01-t-°l) 2+Bj=(ai + 6i)+(«2-(-'2) 4) + Яз = (Ч + h) + ("2 + ьг) + (°з + h)

имеет предел А-\-В.

Если ряды 2 А;И 2 абсолютно сходящиеся, то в каждом из них

i-1 (-1

без влияния на суммы можно изменить произвольно порядок в расположении членов, а следовательно, при суммировании двух абсолютно сходящихся рядов не обязательно суммирование соответственных членов *.

Например, суммируя абсолютно сходящиеся ряды

Ц-г-гга+!?4-г-9°+?7-г'78 + <710 + «11-г913- • ?! 1в1<* 93+(Г3 + вв+912 + . • •

не обязательно брать сумму в виде:

(1 + Я3)+ (9 -Н6) + (52 + ?") + ? <•

Удобнее эту сумму представить так:

l + 9+98+93+S4 + «6-t-9e-t-- . .

Сказанное относительно суммы двух рядов целиком распространяется на разность их.

Если все члены сходящегося ряда умножить на постоянное число с, то получим новый ряд, сумма которого равна произведению числа с на сумму первоначально данного ряда.

Так, если .

* Отметим, что для условно сходящихся рядов это утверждение неверно.

589

м=1

Можно показать, что степенной ряд можно дифференцировать почленно и можно интегрировать почленно между любыми пределами а и Ь, удовлетворяющими условию

TПеремножая два абсолютно сходящихся ряда

Јl = "l + M2 + - • • +"п+. • ? S1 = V1 + V1+. . . + !>„. . .

мы получим ряд:

+ (ulvt+uivs+u3vi + uiv1) + . . . (3)

§ 4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ радиус сходимости ряда. При этом радиус сходимости рядов, полученных дифференцированием или интегрированием данного степенного ряда будет тот же, что и радиус сходимости данного ряда.

Одной из важнейших задач анализа является отыскание такого степенного ряда а0 + ах {х — а) -\- аг (х — я)2 -f- . . ., сумма которого равнялась бы данной функции / (х). Не для всякой функции это возможно сделать. Если такое представление возможно, то коэффициенты искомого разложения в ряд определяются следующим образом:

if'1'* *з=зт'"»;

Таким образом, если искомое разложение возможно, то оно имеет следующий вид:

Степенные ряды:

/ (*) = "о + ЧХ+ <"2*2 + "3ZS +.

(4)

+

(5)

.имеют большое практическое значение. Многие функции могут быть представлены как суммы степенных рядов; экспериментальные данные часто выражаются посредством многочленов или бесконечных степенных рядов. Сумма степенного ряда представляет собой непрерывную функцию х в пределах сходимости ряда.

Применяя признак Даламбера для определения сходимости ряда,

найдем, что степенной ряд (4) сходится, если отношение —а"х" . стремится к пределу, меньшему 1, при возрастании п до бесконечности. Если при этом |'J~2_| имеет своим пределом F, то для сходимости ряда достаточно, чтобы F\x\ было меньше 1. Это будет выполнено, если х заключается в пределах:

F

Число -JR называется радиусом сходимости ряда. Если I х \ >

то ряд будет расходящимся. При х— ±-jf- РЯД может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Операции сложения, вычитания, умножения и деления можно производить со степенными рядами по правилам действий с многочленами, расположенными цо возрастающим степеням, при условии, что [i|<-i-.

390

Ряд, стоящий в правой части этого равенства, называется рядом Тейлора. Отметим, что не всякую функцию можно разложить в ряд такого вида. Для возможности такого разложения, в первую очередь, необходимо, чтобы функция и все ее производные существовали при х = а. Например, функции In (х — а) и ]/лГ— а не могут быть разложены в степенные ряды, расположенные по степеням х — а. Однако даже если функция и все ее производные существуют при х = а, то отсюда еще не следует, что ее можно представить в виде ряда указанного вида. Исчерпывающе этот вопрос разрешается в теории функций комплексного переменного.

(6)

Если в ряде Тейлора положить а = 0, то получим частный случай — ряд Маклорена:'м+тт'' №+тг/"<0)+"зт/"'(0)+- • •+тг/""(0)- ?'

Приведем разложения в ряды важнейших элементарных функций с указанием областей их сходимости:

' 3 1 + 5 1

С03г=1__ + __,

391

ch x={-{-21

(оо<г<оо)

(-l<*ssl)

shz=a:+-3T- + -jrT-+ . . . ( — ooOJ-2 тЗ j4

l»(i+„-,~§-+f—fL...

XL+. .

р-М'=1+и--'Цт-«' + »t»-1H—2) +__ {_i, 1 a I 1-3 . , 1-3-5

arcsmx—x-i x* ч xM ?

2-3 2-4-5 2-4-6-7

§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ К РЕШЕНИЮ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Если дифферен

страница 102
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
видеопроектор напрокат
Рекомендуем фирму Ренесанс - купить лестницу деревянную на второй этаж- быстро, качественно, недорого!
стул самба хром
ремонт вещей на дому?

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(10.12.2016)