химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

айти ее численное значение. Ряды имеют большое значение в решении обыкновенных дифференциальных уравнений, а также при решении уравнений с частными производными и в приближенных вычислениях.

Рассмотрим последовательную промывку осадка с использованием каждый раз свежей воды. Начальная пульпа содержит а кг воды с х„ кг растворенной соли на 1 кг воды.

При каждой промывке пульпа подвергается интенсивному перемешиванию со свежей водой, которая поступает в количестве Ь кг.

После перемешивания раствор отстаивается и сливается, а в пульпе остается а кг воды. Если концентрация раствора после п-й промывки равна хп, то

ахо = ахх -j- Ъх\

откуда концентрация раствора после первой промывки! Концентрация после в-й промывки равна!

Общее количество растворенной соли, извлекаемой промывной водой, будет:

bx1 + Wx3 + . . . + [_Л_ + (-У+ . . . +

Это количество после п промывок выражается многочленом степени п относительно ——г-.

а + Ь

С увеличением числа промывок, т. е. при п, стремящемся к оо, количество соли, остающейся в пульпе, будет стремиться к нулю, 386 а количество извлеченной соли будет стремиться к ах0, и мы получаем следующее равенство: [т+ШгШ3+• • • ]6— 2 Ш" «>

i«=i

Правая часть полученного равенства представляет собою бесконзчный ряд. "~~

В общем случае рядом называется выражение:

"1+ »> + "»+? • ? + "п+- • •

где «„ — числа, закон построения которых нам задан.

Так как в рассматриваемом примере а и 6 — положительные числа

а к I а V

и, следовательно,- является правильной дробью, то а__ь j

стремится к нулю с увеличением п. Сумма п членов ряда (1) стремится к определенному пределу, когда п стремится к бесконечности. Ряд (1) называется сходящимся.

§ 2. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ

Бесконечный ряд

"1+«г-(-вз+. •• + "«+?• • ©

называется сходящимся, если сумма первых его п членов Если же Sn при безграничном возрастании п не стремится ни к какому пределу, то ряд называется расходящимся.

Для наших приложений важны исключительно сходящиеся ряды (хотя расходящиеся ряды также находят себе применение при решении технических задач); поэтому займемся установлением признаков, по которым можно было бы судить о сходимости или расходимости ряда.

Прежде всего, напомним, что ряд а + aq -fa?2 -f . . ., изучаемый в элементарной математике и называемый геометрическим

рядом, будет сходящимся (и будет иметь сумму тгг), если I 9 I <

он будет расходящимся, если

В случае, если ряд знакопостоянный, то о его сходимости или расходимости можно судить по следующим признакам.

1. Признак сравнения. Пусть даны два знакопостоянных ряда «! + и2 + . . . + и„ + . ..ш Vl +vt + ? ? ? + v» + • ? причем члены второго ряда больше или равны соответствующим членам пер-вогоряда: ut г;,, щ щ vz,..., и„ « v„ ,.. . Если второй ряд сходится,

то и первый сходится, и если первый ряд расходится, то и вто111

рой расходится. Например, гармонический ряд l + y + -g'-r'i' + -'1 /1 1 \

расходится, так как ряд с меньшими членами l+y+lT + 'jl-r'

+(т+т+т+т) + ---'т-е- рад 1+I+T+T+--- этевидно расходится.

1 1

Ряд 1 + "2Г + -3Г+ • • • при s<51 также расходится, что следует из сравнения его с гармоническим рядом.

2. Признак Даламбера. Если ряд (2) знакопостоянный и если

отношение и"*1 при бесконечном возрастании п стремится к пре-I ип I

делу, меньшему 1, то данный ряд (2) сходится; если ЧаИ. стремится

к пределу, большему 1, то данный ряд (2) расходится; если этот предел оказывается равным 1, то, пользуясь данным признаком нельзя решить вопрос о сходимости ряда.

Если члены ряда имеют произвольные знаки, то справедливо следующее утверждение:

Ряд «1 -(- иг -f- . . . + ип + . . . будет сходящимся, если сходится ряд \ и\ -(- | иа | + . . . + | ип | + . . ., составленный из абсолютных величин его членов.

Если данный ряд знакочередующийся, то имеет место признак Лейбница; знакочередующийся ряд их — и2 -|- щ — ut +. . . будет сходящимся, если члены его монотонно убывают и стремятся к нулю.

Отметим, что из сходимости ряда ut -L. иг + . . . не следует сходимость ряда | и11 +1 иа | + . . . Поэтому, если дан ряд, члены которого имеют любые внаки, и если этот ряд сходится, то могут быть два случая:

1) Ряд \и±\ 4-|и2| . . ., составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, — в таком случае данный ряд называется абсолютно сходящимся.

2) Ряд | | + | и21 _f- .. . расходится. В таком случае данный ряд, ui + "а + • ? • называется условно сходящимся.

Примеры.

1111

1. Ряд 1 —-—(-— —J- —— ... сходится и притон абсолютно, ибо

2 4 о 16

ряд 1 —J——J———H"g""r"~j7j-~r"' • • также сходится. Оба эти ряда—геометрические ряды со знаменателем, абсолютная величина которого меньше 1. 111

2. Ряд 1 2~~~"3 4""" ' ' ' также СХ0ДИТСЯ О30 признаку Лейбница),

111

но уже условно, так как ряд 1-Ь--Ь+ —+ • . • расходится (как гармонический}.

388

§ 3. ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТ

страница 101
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
сколько стоит выпрямить дверь у машины
мобильныерекламные стенды на улице
ned acet-30-33
http://taxiru.ru/fotootchet_forum_taksi/

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(23.11.2017)