химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

дроби -у. В результате применения правила Лопиталя находим предельное значение у при х -* 1

х (в-И)*" —1 _ "

lim ]ft»_1 -lim (B + 1)In в + 1

что составляет искомое значение для у при х = {.

Глава П

ИНТЕГРИРОВАНИЕ § 1. ДВЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛАМ

Для уяснения смысла интегрирования рассмотрим следующий пример. Предположим, что тело движется по прямой линии с постоянной скоростью w.

Пусть х представляет расстояние (в км), пройденное телом, ах-— время (в ч). Скорость w выражается производной которая в рассматриваемом случае является постоянной.

Время, необходимое для прохождения участка пути, например, от 200 до 500 км, при постоянной скорости 50 км/ч, будет равно:

500 — 200 _е t_ хг — х _ xz — xi

50 ю — dx

~dT

При переменной скорости расчет усложняется. Примем, что w линейно зависит от х; пусть, например:

» = 0,05а: (1)

Время, необходимое для прохождения отрезка пути от 200 до 500 км, может быть вычислено приближенно при использовании средней скорости, например, 17,5 км/ч, соответствующей 350 километру пути. При этом затраченное время составит:

М200 ,„,,

—— = 17 14 ч

17.5 '

Более точный результат получим, если, используя средние скорости, вычислим отдельно время прохождения участков пути от 200 до 300 км, от 300 до 400 км и от 400 до 500 км и сложим полученные числа. На каждом из этих участков точка движется со средней скоростью 12,5 км, 17,5 км и 22,5 км; следовательно, первый участок будет пройден за 8 ч, второй за 5,71 ч и третий за 4,45 ч. Весь путь будет пройден за 18,16 ч.

При дроблении 300-километрового пути на еще более мелкие участки суммирование дало бы еще более точный результат. Точный

8 Заказ 1706

33

результат, очевидно, получим, если будем предполагать, что число участков неограниченно возрастает, так что длина каждого участка стремится к нулю.

Время Дт, необходимое для прохождения пути Ах, получается делением Ах на w, что дает:

Химический закон получил математическое выражение, и нам остается решить задачу, состоящую в нахождении функциональной связи между х и т, выраженной этим уравнением. Для нахождения втой функциональной зависимости запишем уравнение (3) так:

(4)

Дт=0,05*

Легко убедиться, что

(2)

Чтобы получить все время, необходимое для прохождения пути от 200 до 500 км, надо сложить все промежутки времени Дт. Полученное при этом значение для времени будет тем точнее выражать истинное значение времени, чем мельче будут отрезки пути Ах, на которые мы разбили весь путь от 200 до 500 км. Если рассмотреть не сумму всех Дт, а предел этой сум™, в предположении, что все Ах стремятся к нулю, то этот предел даст нам точное значение искомого времени:

т= lim

Подобные пределы сумм называются в математике определенными интегралами и обозначаются так:

lim 2i

200

Численное значение этого интеграла оказывается равным 18,33 ч.

Рассмотрим другой пример, именно — инверсию сахара. Применяя закон действующих масс к этому процессу, заключаем, что количество сахара, инвертируемого в единицу времени, прямо пропорционально количеству сахара в растворе.

Пусть а — первоначальное количество сахара в растворе и пусть за время т инвертируется количество сахара х, т. е. к моменту времени т в растворе остается а — х сахара. Допустим, что в течение промежутка времени от т до т -f- Дт реакция протекает равномерно и пусть при этом количество инвертируемого сахара равно dx. Для этого промежутка времени, по приведенному выше- закону, скорость реакции пропорциональна наличному количеству сахара а — х, и так как мы эту скорость считаем постоянной, то количество инвертируемого сахара в этот промежуток времени будет равно к(а— х)дх, где к—некоторый множитель пропорциональности. Следовательно, мы имеем:

dx — к (а — х) dl

(3)

или

dx , . , — = к (а-х) ОТ

34

(5)

T = -i-ln к

В самом деле, дифференцируя (5), получаем!

d L й In (a —= 1 d(a — x) 1_ dx

к к а—х к а—х

Решение химической задачи мы привели к математической задаче нахождения функции по заданному ее дифференциалу. Эта задача обратва той, которая ставится в дифференциальном исчислении, где требуется найти производную или дифференциал по данной функции. В дифференциальном исчислении отыскиваются бесконечно малые изменения церемонной величины, соответствующие бесконечно малым изменениям другой величины на основании данного закона, связывающего эти две величины, т. с. когда известна функциональная зависимость между этими величинами.

В решенной нами задаче были даны бесконечно малые изменения одной величины, соответствующие бесконечно малым изменениям другой, и требовалось найти функциональную зависимость между этими двумя величинами.

Область математики, занимающаяся решением таких задач, носит название интегрального исчисления.

§ 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Обозначим через f(x) производную от функции F (х). Будем считать функцию / (х) заданной, а функцию F (х) искомой;

dF (х) = / (х) dx

Можно показать, что если F(x) есть какая-либо первообразная от fix), то функция F{x)

страница 10
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
hoesch сервисный центр
щит управления siemens атп 1к/1п
наказание за кражу и разбой
Подсвечники из Италии

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(17.01.2017)